Sucesiones aritméticas y geométricas, paso a paso

En una sucesión aritmética sumas siempre el mismo número para pasar de un término al siguiente, y en una geométrica multiplicas siempre por el mismo número. Con eso ya sabes cuál es cuál; lo demás es aplicar la fórmula con cuidado.

Cómo saber cuál es cuál

Calcula la diferencia entre dos términos consecutivos y luego la división. Si la resta da siempre lo mismo, es aritmética. Si la división da siempre lo mismo, es geométrica.

• 3, 8, 13, 18, ...: 8 − 3 = 5, 13 − 8 = 5. Es aritmética.
• 5, 10, 20, 40, ...: 10 ÷ 5 = 2, 20 ÷ 10 = 2. Es geométrica.

Al número que sumas en la aritmética le llamamos diferencia común (d). Al número que multiplicas en la geométrica le llamamos razón común (r).

Si una sucesión no cumple ninguna de las dos reglas, no es aritmética ni geométrica. No fuerces la fórmula.

Las fórmulas del término general

Para el término número n:

• Aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1)·d
• Geométrica: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹

¿Por qué n − 1? Porque para llegar del primer término al n-ésimo das n − 1 pasos. En la aritmética cada paso suma d; en la geométrica cada paso multiplica por r. Si entiendes eso, no tienes que memorizar la fórmula como un conjuro.

Dos ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (aritmética). En la sucesión 3, 8, 13, 18, ..., ¿cuál es el decimoquinto término?

• a₁ = 3, d = 5, n = 15
• a₁₅ = 3 + (15 − 1)·5 = 3 + 14·5 = 3 + 70 = 73

Comprobación: partes de 3 y sumas 5 catorce veces. Llegas a 73.

Ejemplo 2 (geométrica con signos alternados). En la sucesión 2, −6, 18, ..., ¿cuál es el cuarto término?

• Primero calcula r: −6 ÷ 2 = −3, y 18 ÷ (−6) = −3. Entonces r = −3.
• a₁ = 2, r = −3, n = 4
• a₄ = 2 · (−3)³ = 2 · (−27) = −54

Aquí conviene ir con calma. La potencia se calcula con todo y signo de r: (−3)³ = −27, porque tres factores negativos dan negativo. Si escribes −3³ sin paréntesis, el resultado es el mismo (−27), porque la potencia se resuelve antes que el signo, pero es mejor escribir los paréntesis para no confundirte. El error típico aquí es tomar (−3)³ como +27 y arrastrar mal el signo después. Si además multiplicas 2 · (−27) y pones +54, ya tienes dos errores encadenados.

Qué hacer para no fallar

1. Antes de usar la fórmula, saca d o r con dos términos consecutivos. Casi todos los errores vienen de saltarse este paso.
2. Cuenta bien el número de pasos. Para el término 15 son 14 pasos, no 15. Este fallo es muy común aunque tu cálculo esté bien.
3. Haz los números pequeños a mano para ver el patrón, y usa solo una calculadora de funciones básicas para las potencias grandes, que es la única permitida en el examen.
4. Resuelve un caso nuevo sin mirar la solución. Por ejemplo: en 5, 10, 20, 40, ..., ¿cuál es el sexto término? La respuesta es 160, porque 5 · 2⁵ = 5 · 32 = 160.

Si quieres ubicar estos cálculos dentro de la prueba, la sección de pensamiento matemático del EXANI-II explica qué mide y cómo practicarla. Para saber qué temas entran exactamente, revisa el temario oficial gratuito en ceneval.edu.mx, y confirma con tu institución cómo se aplica tu examen.