Semejanza de triángulos y teorema de Tales, con ejemplo

Dos triángulos son semejantes cuando tienen los mismos ángulos y sus lados correspondientes guardan la misma razón. Es decir, tienen la misma forma aunque no el mismo tamaño. Para probarlo no hace falta comparar los seis datos: basta con cumplir uno de tres criterios.

Los tres criterios

• AA (ángulo-ángulo): si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos del otro, los triángulos son semejantes. El tercer ángulo se completa solo, porque los ángulos de cualquier triángulo suman 180°.
• LAL (lado-ángulo-lado): si dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados del otro, y el ángulo entre ellos es igual, son semejantes.
• LLL (lado-lado-lado): si los tres pares de lados tienen la misma razón, son semejantes.

Los lados correspondientes son los que están frente a ángulos iguales. Confundir cuáles son los correspondientes es la causa más común de errores en este tema.

Qué dice el teorema de Tales

Toma un triángulo ABC y traza una recta DE paralela a BC, con D sobre AB y E sobre AC. Se forma un triángulo pequeño, ADE, semejante al grande. El ángulo en A es común, y los ángulos en D y en B son iguales porque las rectas son paralelas. Por el criterio AA, los dos triángulos son semejantes.

De ahí sale la proporción que más vas a usar:

AD / DB = AE / EC

Cada fracción compara segmentos del mismo lado del triángulo. También puedes escribirla como AD / AE = DB / EC, porque al multiplicar en cruz sale la misma igualdad. Lo que no funciona es mezclar un segmento con el lado completo en una sola fracción.

Antes y después: la proporción mal armada

Supón AD = 4, DB = 6 y AE = 5, y quieres encontrar EC.

Una versión débil sería:

4 / 10 = 5 / EC

Aquí el 10 es AB, el lado completo, pero en la otra fracción el denominador es EC, un segmento. Al despejar sale EC = 12.5, que en realidad es AC. La cuenta se ve limpia, así que el error no salta a la vista.

La versión correcta compara segmento con segmento:

4 / 6 = 5 / EC, entonces EC = 5 × 6 / 4 = 7.5

Para comprobarlo, calcula AC = AE + EC = 12.5. Luego AE / AC = 5 / 12.5 = 0.4, y AD / AB = 4 / 10 = 0.4. Las dos razones coinciden, así que el resultado es correcto. Si tu número no pasa esta prueba, revisa la proporción antes de volver a la calculadora.

Un reactivo para practicar

En el triángulo ABC, DE es paralela a BC. AD = 2, AB = 8 y AE = 3. Calcula AC.

Como AB es el lado completo, relaciona AD con AB y AE con AC:

2 / 8 = 3 / AC

AC = 3 × 8 / 2 = 12

Comprobación: 3 / 12 = 0.25, y 2 / 8 = 0.25. La respuesta es 12.

Cómo aplicarlo en un examen de opción múltiple

Antes de calcular, escribe la proporción con los nombres de los segmentos, no con los números. Después sustituye los valores. Si el resultado no aparece entre las opciones, revisa primero si invertiste una fracción.

Cuando hay pocas opciones, también puedes sustituir cada una en la proporción y ver cuál la cumple. Es un método válido, porque el objetivo es llegar a la respuesta correcta.

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