Permutaciones y combinaciones: ejemplos resueltos

Usa permutaciones cuando importa el orden de los elementos y combinaciones cuando solo importa qué elementos forman el grupo. Casi todo el problema está en decidir cuál de las dos te piden.

La pregunta que decide

Antes de calcular nada, hazte esta pregunta: si cambio el orden de los elementos, ¿el resultado cambia? Si sí, es permutación. Si no, es combinación.

Tres casos resueltos

1. Podio de una carrera. Ocho corredores compiten y se dan medalla de oro, plata y bronce. ¿De cuántas formas puede quedar el podio?

Aquí importa el orden: que Ana quede primera y Luis segundo no es lo mismo que al revés. Es una permutación de 8 elementos tomados de 3 en 3.

• Oro: 8 opciones.
• Plata: 7 opciones (ya se asignó un corredor).
• Bronce: 6 opciones.

8 × 7 × 6 = 336 podios posibles.

2. Comité de tres personas. De ocho compañeros de clase, se eligen tres para organizar la fiesta. ¿De cuántas formas se puede formar el comité?

Aquí no hay cargos. Si eliges a Ana, Luis y Marta, es el mismo comité que Marta, Ana y Luis. El orden no importa, así que es una combinación de 8 tomados de 3 en 3.

Primero calcula las permutaciones (8 × 7 × 6 = 336) y luego divide entre las formas de acomodar a esas 3 personas, que son 3 × 2 × 1 = 6:

336 ÷ 6 = 56 comités posibles.

3. Clave de cuatro dígitos sin repetir. Una clave usa cuatro dígitos distintos, del 0 al 9. ¿Cuántas claves hay?

El orden sí importa, porque 1234 y 4321 son claves diferentes. Es una permutación de 10 dígitos tomados de 4 en 4:

10 × 9 × 8 × 7 = 5 040 claves.

Si el enunciado dijera que los dígitos sí pueden repetirse, ya no sería permutación sin repetición. Cada posición tendría 10 opciones: 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000. Lee siempre si hay restricción de repetición.

La regla que comparten

Si tomas r elementos de un conjunto de n:

• Permutaciones: P(n, r) = n! / (n − r)!
• Combinaciones: C(n, r) = n! / [r! (n − r)!]

El factorial, n!, es multiplicar n × (n − 1) × … × 1. Por ejemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Fíjate en que la combinación es igual a la permutación dividida entre r!, porque r! cuenta cuántas formas hay de ordenar los elementos que ya elegiste. Por eso el caso del comité dio 336 ÷ 6.

Cómo resolverlo en el examen

Como el examen permite calculadora básica, no dependas de la tecla de factorial. Escribe los factores como producto, como en los casos de arriba, y simplifica antes de multiplicar. Para 8 × 7 × 6 es más rápido que calcular 8! entero y luego dividir.

Si te cuesta recordar la fórmula, puedes razonar el problema paso por paso, como hiciste con el podio. Y si tienes opciones de respuesta, sustituir cada una puede ser más rápido que despejar. Como errar no resta, no dejes nada en blanco.

Si quieres ver cómo se presentan estos temas dentro del módulo de pensamiento matemático, la página de pensamiento matemático del EXANI-II explica qué mide y cómo practicarlo.