Mínimo común múltiplo y máximo común divisor, paso a paso
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El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números es el menor número que aparece en la lista de múltiplos de todos ellos. El máximo común divisor (MCD) es el mayor número que divide exactamente a todos. Uno busca hacia arriba y el otro hacia abajo, y ahí está la clave para no confundirlos.
Cómo calcular el MCD
La forma más segura es descomponer cada número en factores primos. Toma 36 y 48:
- 36 = 2² × 3²
- 48 = 2⁴ × 3
Para el MCD, toma solo los primos que aparecen en todos los números, con el exponente más chico. El 2 aparece en ambos, con exponentes 2 y 4, así que usas 2². El 3 aparece en ambos, con exponentes 2 y 1, así que usas 3¹.
MCD = 2² × 3 = 12
Compruébalo: 36 ÷ 12 = 3 y 48 ÷ 12 = 4. Ningún número mayor que 12 divide a los dos.
Cómo calcular el MCM
Para el MCM, toma todos los primos que aparezcan en cualquiera de los números, con el exponente más grande:
- Del 2: el mayor exponente es 4 (de 48).
- Del 3: el mayor exponente es 2 (de 36).
MCM = 2⁴ × 3² = 144
Compruébalo: 144 ÷ 36 = 4 y 144 ÷ 48 = 3. Ningún número menor que 144 es múltiplo de los dos.
Si los números no comparten ningún primo, el MCD es 1. Por ejemplo, con 8 y 9: 8 = 2³ y 9 = 3², no tienen primos en común, así que MCD = 1 y MCM = 2³ × 3² = 72.
Hay una relación útil que te ahorra cálculos: MCM × MCD = producto de los dos números. Con 36 y 48: 144 × 12 = 1728 y 36 × 48 = 1728. Si ya tienes uno de los dos, el otro sale con una división o una multiplicación, y con una calculadora básica basta.
Errores comunes y su corrección
| Error | Corrección |
|---|---|
| Buscar el "mayor múltiplo común" para el MCM. | Los múltiplos siguen para siempre, así que no hay mayor. El MCM es el menor múltiplo común. |
| Usar el exponente mayor para el MCD (o el menor para el MCM). | MCD: exponente menor. MCM: exponente mayor. |
| Responder con cualquier divisor común. Con 36 y 48, responder 6 porque también divide a ambos. | El MCD es el mayor divisor común, aquí 12. |
| Olvidar los primos que no se repiten. Con 8 y 9, responder MCM = 1 o 24. | El MCM incluye todos los primos de todos los números. Con 8 y 9 es 72. |
| Confundir los dos en problemas escritos. | Pregúntate qué se busca. "¿Cada cuánto coinciden?" es MCM. "¿Cuál es el tamaño más grande de grupos iguales?" es MCD. |
Un problema tipo
Dos autobuses salen de la misma terminal. Uno pasa cada 12 minutos y el otro cada 18. Si ambos salieron a las 8:00, ¿cada cuánto vuelven a salir juntos?
Lo que buscas es un tiempo que sea múltiplo de 12 y de 18 a la vez, así que es MCM.
- 12 = 2² × 3
- 18 = 2 × 3²
- MCM = 2² × 3² = 36
Respuesta: vuelven a coincidir cada 36 minutos, es decir, a las 8:36, luego a las 9:12, y así sucesivamente. Si tu resultado fuera 6, revisa que no hayas tomado el MCD por error.
En el examen
Solo se permite una calculadora de funciones básicas, así que practica estos cálculos con esa misma calculadora. Puedes hacer la descomposición en primos a mano y usar la calculadora solo para multiplicar y dividir. Si no tienes clara la pregunta, lee hasta el final y subraya qué te piden antes de calcular. Como en el examen las respuestas son de opción múltiple y errar no resta, si no recuerdas el método, sustituir las opciones en el problema también puede llevarte a la respuesta correcta.
Para saber si este tema forma parte de lo que evalúa la sección de pensamiento matemático y con qué peso, revisa la guía oficial del EXANI-II y el temario del área. Si quieres ver cómo se plantean los problemas de esta área, puedes empezar en la página de pensamiento matemático del EXANI-II.
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