Logaritmos: propiedades y ejercicios resueltos

Las propiedades de los logaritmos son cuatro reglas que te dejan convertir productos en sumas, cocientes en restas y potencias en multiplicaciones. Con eso puedes simplificar expresiones largas o despejar una incógnita que está en el exponente.

Las propiedades básicas

Supón que la base b es positiva y distinta de 1, y que x y y son positivos.

• Producto: log_b(x · y) = log_b x + log_b y
• Cociente: log_b(x / y) = log_b x − log_b y
• Potencia: log_b(x^n) = n · log_b x
• Casos especiales: log_b b = 1 y log_b 1 = 0

Además existe el cambio de base: log_b x = log_c x / log_c b. Sirve cuando tu calculadora solo tiene logaritmo decimal (log) o natural (ln), o cuando los dos logaritmos tienen bases distintas y quieres compararlos.

Un ejemplo resuelto de principio a fin

Desarrolla esta expresión: log₂(8x³ / y)

1. Identifica la operación principal. Dentro del logaritmo hay un cociente, así que primero separas numerador y denominador: log₂(8x³) − log₂ y
2. Aplica el producto al numerador. 8x³ es un producto: log₂ 8 + log₂(x³) − log₂ y
3. Aplica la potencia. El exponente 3 baja como factor: log₂ 8 + 3 log₂ x − log₂ y
4. Evalúa lo que se pueda. Como 8 = 2³, log₂ 8 = 3: 3 + 3 log₂ x − log₂ y

Ese es el resultado desarrollado. Para comprobarlo, piensa en un valor concreto: si x = 2 y y = 4, la expresión original vale log₂(8·8/4) = log₂ 16 = 4. En la forma desarrollada: 3 + 3·1 − 2 = 4. Coincide.

Errores que aparecen en los reactivos

Estos son los fallos más comunes, y casi todos vienen de aplicar una propiedad que no existe:

• log(x + y) no es log x + log y. La suma no se separa.
• log(x / y) no es log x / log y. El cociente se transforma en resta, no en división de logaritmos.
• log(x^n) no es (log x)^n. La potencia sale como factor multiplicador.
• Al "juntar" logaritmos, la resta pasa a ser cociente. log a − log b = log(a / b), no log(a − b).

Si al resolver llegas a una respuesta con una suma dentro del logaritmo, detente y revisa.

Ejercicios para practicar

Resuélvelos sin ver la respuesta. Después compara.

1. Desarrolla log₅(25xy²).
2. Expresa como un solo logaritmo: log₃ a + 2 log₃ b − log₃ c.
3. Calcula log₃ 81 − log₃ 9.
4. Calcula log₄ 32 usando cambio de base a base 2.

Respuestas:

1. 2 + log₅ x + 2 log₅ y (porque 25 = 5²)
2. log₃(ab² / c)
3. 2 (porque log₃ 81 − log₃ 9 = log₃ 9 = 2)
4. Como 32 = 2⁵ y 4 = 2², log₄ 32 = log₂ 32 / log₂ 4 = 5 / 2

Si fallaste alguno, identifica si no conocías la propiedad, si la aplicaste mal o si te confundiste al leer el enunciado. Esa diferencia te dice qué repasar.

Cómo encaja esto en el examen

Los logaritmos forman parte del módulo de pensamiento matemático, que tiene 30 reactivos y permite calculadora de funciones básicas. Como la calculadora no sirve para decidir qué propiedad aplicar, conviene practicar el razonamiento sin depender de ella. Revisa el temario oficial del EXANI-II para confirmar los temas exactos que incluye tu sección, y si tu institución publica una guía de estudio, úsala como referencia adicional.

Para practicar más, puedes ir a la sección de pensamiento matemático y luego hacer una serie cronometrada en el simulador por área.