Leyes de los exponentes con ejemplos y errores comunes
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Las leyes de los exponentes son ocho reglas que te dicen cómo operar potencias con la misma base o con exponentes especiales. Si las tienes memorizadas y sabes cuándo aplicar cada una, la mayoría de los ejercicios de potencias se vuelven mecánicos.
Las leyes, una por una
Para todas estas reglas, la base a y b deben ser distintas de cero, y m y n son exponentes.
| Ley | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto con la misma base | a^m · a^n = a^(m+n) | 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Cociente con la misma base | a^m / a^n = a^(m−n) | 5⁶ / 5² = 5⁴ = 625 |
| Potencia de una potencia | (a^m)^n = a^(m·n) | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Producto elevado a un exponente | (a·b)^n = aⁿ · bⁿ | (2x)³ = 8x³ |
| Cociente elevado a un exponente | (a/b)^n = aⁿ / bⁿ | (2/3)² = 4/9 |
| Exponente cero | a⁰ = 1 | 7⁰ = 1 |
| Exponente negativo | a^(−n) = 1 / aⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| Exponente fraccionario | a^(1/n) = ⁿ√a | 9^(1/2) = 3 y 8^(2/3) = 4 |
Lo que cambia entre una ley y otra es la operación. En multiplicación y división con la misma base, los exponentes se suman o se restan. Cuando hay un paréntesis elevado a una potencia, el exponente entra a cada factor. Y cuando una potencia está dentro de otra, los exponentes se multiplican.
Los errores donde más se cae
Sumar exponentes cuando las bases no son iguales. La ley del producto solo sirve con la misma base. Por ejemplo, 2³ · 3³ no es 6⁶. Como los exponentes son iguales, sí puedes usar la ley del producto elevado: (2·3)³ = 6³ = 216.
Elevar una suma como si fuera un producto. (a + b)ⁿ no es aⁿ + bⁿ. Prueba con números: 2² + 3² = 4 + 9 = 13, pero (2 + 3)² = 5² = 25. Las leyes del producto y del cociente no funcionan con sumas ni restas dentro del paréntesis.
Confundir apilar exponentes con potencia de potencia. En 2^(3²) primero se calcula el exponente de arriba: 3² = 9, y queda 2⁹ = 512. En (2³)² primero se resuelve la base: 2³ = 8, y 8² = 64. Mismos números, resultados distintos. Fíjate en los paréntesis antes de operar.
Pensar que un exponente negativo hace negativo el resultado. 2⁻³ no es −8. Es una fracción: 1/8. El signo menos en el exponente indica que hay que invertir la base.
Tratar el cero con cuidado. Cualquier base distinta de cero elevada a la cero da 1. El caso 0⁰ no está definido, así que no lo uses como si valiera 1.
Cómo practicar sin memorizar a ciegas
Escribe las ocho reglas en una hoja y resuelve diez ejercicios mezclados, sin ver la tabla. Si fallas, identifica qué ley usaste mal: la mayoría de los errores caen en los tres puntos de arriba. Después, prueba con ejercicios donde tengas que combinar dos leyes a la vez, como (2³ · 2⁵)⁻¹.
Si te preparas para el EXANI-II, estas reglas forman parte de la lógica del área de pensamiento matemático, y la guía de estudio indica en qué consiste cada tema oficial. Para practicar con reactivos en el formato del examen, revisa el simulador por área y elige pensamiento matemático.
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