Funciones lineales y cuadráticas: cómo distinguirlas

Una función lineal tiene la forma f(x) = mx + b y su gráfica es una recta. Una función cuadrática tiene la forma f(x) = ax² + bx + c, con a distinta de cero, y su gráfica es una parábola. Casi todo lo que te pidan sobre ellas sale de esa diferencia.

Cómo reconocerla por la fórmula

Mira la potencia más alta de x:

• Si x aparece solo elevada a 1 (o sea, sin exponente), es lineal. Ejemplo: y = 2x − 3.
• Si aparece x² y no hay potencias mayores, es cuadrática. Ejemplo: y = x² − 4x + 3.

Si la expresión tiene x³ o más, ya no es ninguna de las dos. Ese caso no entra en lo que estás repasando aquí.

Cómo reconocerla por la tabla

Toma valores de x igualmente espaciados, por ejemplo 0, 1, 2, 3, y calcula las diferencias entre los valores de y:

• En una lineal, las primeras diferencias son constantes. Si y crece 2 cada vez que x crece 1, la pendiente es 2.
• En una cuadrática, las primeras diferencias cambian, pero las segundas diferencias son constantes.

Este truco te sirve cuando no tienes la fórmula y solo ves una tabla.

Qué significa cada coeficiente

En la recta y = mx + b:

• m es la pendiente: cuánto sube o baja y por cada unidad que avanza x. Si m es negativa, la recta baja.
• b es la ordenada al origen: el punto donde la recta cruza el eje y, en (0, b).

En la parábola y = ax² + bx + c:

• c es el cruce con el eje y, igual que b en la recta.
• El signo de a dice hacia dónde abre la parábola. Si a es positiva, abre hacia arriba y el vértice es un mínimo. Si a es negativa, abre hacia abajo y el vértice es un máximo.
• El vértice está en x = −b/(2a). Sustituyes ese valor en la función para obtener y.
• Las raíces son los puntos donde la gráfica cruza el eje x, es decir, donde f(x) = 0.

Ejemplo completo

Toma g(x) = x² − 4x + 3.

1. Como a = 1 es positiva, la parábola abre hacia arriba.
2. El vértice está en x = −(−4)/(2·1) = 2. Luego g(2) = 4 − 8 + 3 = −1. El vértice es (2, −1), que es un mínimo.
3. El cruce con el eje y es (0, 3), porque c = 3.
4. Para las raíces, factorizas: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3). Entonces cruza el eje x en x = 1 y x = 3.

Con esos cuatro datos ya puedes dibujar la gráfica sin más cálculos.

Ejercicio para practicar

Calcula el vértice de h(x) = −x² + 6x − 5 y di si abre hacia arriba o hacia abajo.

Respuesta: como a = −1 es negativa, abre hacia abajo. El vértice está en x = −6/(2·(−1)) = 3. Luego h(3) = −9 + 18 − 5 = 4. El vértice es (3, 4), un máximo.

Si además quieres practicar con reactivos en el formato del examen, la sección de pensamiento matemático explica qué mide y cómo se plantea. Para ver la estructura general del examen, revisa EXANI II: qué es y qué evalúa.