Dominio y rango de una función lineal: reglas y ejemplos

Dominio y rango de una función lineal

Una función lineal de la forma f(x) = mx + b tiene como dominio todos los números reales y como rango también todos los reales, siempre que m sea distinto de cero.

Los casos básicos

La idea es sencilla: si la recta no es horizontal, sube o baja sin parar en los dos sentidos, así que cualquier valor de x produce una y, y cualquier y se alcanza en algún punto. Si la recta es horizontal, la y siempre vale lo mismo, y el rango se reduce a ese único número.

Cuando el dominio no son todos los reales

Lo que más confunde no es la fórmula, sino el contexto. Si la función modela una situación real, el dominio es el conjunto de valores que tienen sentido en ese problema.

Por ejemplo, si cobras 15 pesos por cada cuaderno y el costo total es C(n) = 15n, el número de cuadernos n no puede ser negativo ni fraccionario. Entonces el dominio es los enteros n ≥ 0, y el rango son los costos múltiplos de 15 que se obtienen con esos n. Si el problema no dice otra cosa, lo razonable es pensar en valores no negativos y, si hablan de piezas o personas, en enteros.

Fíjate en el enunciado. Las palabras "intervalo", "al menos", "a lo más" o una tabla de valores te dicen qué restricción aplicar.

Un ejemplo resuelto

Sea f(x) = -3x + 7 con dominio [-2, 5]. ¿Cuál es el rango?

1. La pendiente es -3, negativa, así que la función es decreciente: al aumentar x, f(x) baja.
2. Como es decreciente, los valores extremos se obtienen en los extremos del dominio.
3. f(-2) = -3(-2) + 7 = 13
4. f(5) = -3(5) + 7 = -8
5. El rango es el intervalo [-8, 13].

Una trampa común es escribir el rango como [13, -8] o usar los valores de x en vez de los de f(x). Como la función es decreciente, el orden se invierte: el valor mayor de f sale de la x menor.

Dos errores que conviene evitar

• Pensar que una recta vertical, como x = 3, es una función lineal. No lo es, porque para un mismo x habría muchos valores de y.
• Olvidar que el rango de una constante es un solo número. Si tu respuesta incluye un intervalo para f(x) = 4, algo salió mal.

Si quieres practicar estos casos con preguntas tipo examen, el área de pensamiento matemático explica qué tipo de razonamiento se mide, y en el simulador puedes trabajar temas así por separado y contra reloj.