Factorización: tipos y ejemplos resueltos paso a paso

Los tipos básicos de factorización son cinco: factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma x² + bx + c y factorización por agrupación. Casi todos los ejercicios se resuelven con alguno de ellos, a veces con dos combinados.

Cómo elegir el método

Antes de elegir, haz dos preguntas: cuántos términos tiene la expresión y si todos comparten un factor.

1. Revisa primero si hay factor común. Si todos los términos tienen un número o una letra en común, sácalo. Es el paso que más se olvida.
2. Cuenta los términos.
   • Dos términos: busca diferencia de cuadrados (a² − b²) o suma o diferencia de cubos.
   • Tres términos: prueba trinomio cuadrado perfecto o trinomio x² + bx + c.
   • Cuatro términos: intenta agrupación.
3. Verifica multiplicando. Si los factores que obtuviste, al multiplicarse, regresan a la expresión original, vas bien.

Un ejemplo que recorre todos los pasos

Vamos a factorizar 2x³ − 18x.

Paso 1: factor común. Los dos términos tienen 2x. Sacándolo queda 2x(x² − 9).

Paso 2: cuenta los términos. Dentro del paréntesis quedan dos términos, x² y 9, y ambos son cuadrados perfectos con un signo menos entre ellos. Es diferencia de cuadrados: a² − b² = (a + b)(a − b). Aquí a = x y b = 3.

Resultado: 2x(x + 3)(x − 3).

Verificación: (x + 3)(x − 3) = x² − 9, y 2x · (x² − 9) = 2x³ − 18x. Coincide con el original.

Los cinco tipos, uno por uno

Factor común

Se saca el mayor factor que se repite en todos los términos.

Ejemplo: 6x³ − 9x² = 3x²(2x − 3).

Comprueba: 3x² · 2x = 6x³ y 3x² · (−3) = −9x².

Diferencia de cuadrados

Cuando tienes dos cuadrados separados por un signo menos, se factoriza como suma por diferencia.

Ejemplo: 25m² − 16 = (5m + 4)(5m − 4).

Aquí 25m² es (5m)² y 16 es 4². Si el signo fuera más, no se puede factorizar con este método.

Trinomio cuadrado perfecto

Sirve cuando el primer y el último término son cuadrados perfectos y el término del medio es dos veces el producto de sus raíces.

Ejemplo: x² + 10x + 25 = (x + 5)².

Comprueba: 2 · x · 5 = 10x, que es el término del medio. Si el medio tuviera signo menos, como en x² − 6x + 9, el resultado sería (x − 3)².

Trinomio de la forma x² + bx + c

Buscas dos números que multipliquen c y sumen b.

Ejemplo: x² + 7x + 12. Los números que multiplican 12 y suman 7 son 3 y 4. Entonces queda (x + 3)(x + 4).

Si c es negativo, uno de los dos números será negativo. Por ejemplo, x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2), porque 3 · (−2) = −6 y 3 + (−2) = 1.

Factorización por agrupación

Se usa con cuatro términos. Agrupas de dos en dos, sacas factor común de cada pareja y, si obtienes el mismo paréntesis en ambas, lo vuelves factor común.

Ejemplo: x³ + 2x² + 3x + 6.

• Agrupa: (x³ + 2x²) + (3x + 6)
• Saca factor común en cada pareja: x²(x + 2) + 3(x + 2)
• Saca el paréntesis común: (x + 2)(x² + 3)

Comprueba: (x + 2)(x² + 3) = x³ + 3x + 2x² + 6, que coincide.

Errores que cuestan puntos

• Olvidar el factor común y, después, forzar otro método sobre una expresión que todavía podía simplificarse.
• Confundir diferencia de cuadrados con suma de cuadrados. x² + 9 no se factoriza en números reales con este método.
• Escribir (x + 5)² como x² + 25. El término del medio, 10x, no puede faltar.
• Equivocarte con los signos en x² + bx + c. Revisa que el producto dé c y la suma dé b, con su signo.

Si el problema aparece dentro de un módulo de pensamiento matemático, el método es el mismo, pero conviene practicar bajo tiempo. La sección de pensamiento matemático del EXANI-II explica qué tipo de razonamiento mide, y en el simulador por área puedes practicar contra reloj.