Ecuaciones cuadráticas por factorización, paso a paso

Pasa todos los términos a un solo lado para dejar la ecuación igualada a cero, factoriza la expresión y luego iguala cada factor a cero. Cada factor te da una solución.

La razón está en la propiedad del producto cero: si a × b = 0, entonces a = 0 o b = 0. Por eso necesitas el cero de un lado. Si tienes (x − 2)(x + 5) = 12, no puedes igualar cada factor a 12. Primero hay que desarrollar el producto y pasar todo a un lado.

Antes de factorizar, deja un cero del lado derecho

Supón que te dan x² = 3x. Podrías dividir entre x para simplificar, pero así pierdes la solución x = 0. Pasa el 3x al lado izquierdo:

x² − 3x = 0

Ahora sí puedes factorizar.

Caso 1: hay un factor común

Si todos los términos comparten un factor, sácalo primero.

x² − 5x = 0 → x(x − 5) = 0

Igualas cada factor a cero: x = 0 o x − 5 = 0. Las soluciones son x = 0 y x = 5.

Caso 2: diferencia de cuadrados

Cuando tienes dos cuadrados separados por un signo menos, la factorización es una suma por una diferencia.

x² − 9 = 0 → (x − 3)(x + 3) = 0

Soluciones: x = 3 y x = −3.

Caso 3: trinomio con coeficiente 1 (x² + bx + c)

Busca dos números que multipliquen c y sumen b. Si c es positivo, los dos números tienen el mismo signo, y ese signo es el de b. Si c es negativo, tienen signos distintos.

Ejemplo con c positivo: x² + 5x + 6 = 0. Dos números que multiplican 6 y suman 5 son 2 y 3.

(x + 2)(x + 3) = 0 → x = −2 o x = −3

Ejemplo con c negativo: x² − x − 6 = 0. Ahora necesitas números que multipliquen −6 y sumen −1. Son −3 y 2.

(x − 3)(x + 2) = 0 → x = 3 o x = −2

Comprueba sustituyendo. Para x = 3: 9 − 3 − 6 = 0. Correcto.

Caso 4: coeficiente distinto de 1 (ax² + bx + c)

Aquí el método más seguro es partir el término del medio. Multiplica a por c y busca dos números que multipliquen ese producto y sumen b.

Ejemplo: 2x² + 7x + 3 = 0. Multiplicas 2 × 3 = 6 y buscas dos números que multipliquen 6 y sumen 7. Son 6 y 1.

Partes 7x como 6x + x:

2x² + 6x + x + 3 = 0 2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0 (2x + 1)(x + 3) = 0

Soluciones: x = −1/2 y x = −3. Para comprobar x = −1/2: 2(1/4) − 7/2 + 3 = 0.5 − 3.5 + 3 = 0.

Caso 5: trinomio cuadrado perfecto

Si el término independiente es el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, el trinomio es un cuadrado perfecto.

x² + 6x + 9 = 0 → (x + 3)(x + 3) = 0 → (x + 3)² = 0

Los dos factores son iguales, así que solo hay una solución: x = −3. Se llama raíz doble.

Cuando no encuentras los números

Si después de un rato no aparecen dos enteros que cumplan las dos condiciones, la ecuación probablemente no se factoriza con enteros. Eso no significa que hayas hecho algo mal. En ese caso usa la fórmula general, que sirve para cualquier cuadrática. Factorizar es más rápido cuando la factorización sale limpia.

Si la pregunta trae opciones

Cuando hay opciones, puedes sustituir cada una en la ecuación y ver cuál la cumple. Con dos o tres opciones suele ser más rápido que factorizar desde cero. Si tienes dudas sobre cómo se califica el examen, confirma las reglas con tu institución y en ceneval.edu.mx.

Practica con un reactivo original

Resuelve esta ecuación antes de seguir leyendo:

x² − 2x − 15 = 0

Busca dos números que multipliquen −15 y sumen −2. Son −5 y 3. Entonces (x − 5)(x + 3) = 0, y las soluciones son x = 5 y x = −3. Compruébalo con x = 5: 25 − 10 − 15 = 0.

Si te costó encontrar los números, repite el caso 3 con otros trinomios hasta que el proceso te salga sin pensarlo. Si quieres ver qué tipo de problemas plantea esta área, la página de Pensamiento matemático EXANI-II lo explica.