Ecuación de la circunferencia: fórmula y cómo usarla

La ecuación de la circunferencia con centro en (h, k) y radio r es (x − h)² + (y − k)² = r². Lo que cambia de un problema a otro es qué datos te dan, así que la forma de resolverlo depende de tu caso.

Si te dan el centro y el radio

Sustituye directamente. Si el centro es (3, −2) y el radio es 5:

(x − 3)² + (y − (−2))² = 5²

Queda (x − 3)² + (y + 2)² = 25.

Ojo con los signos. En el paréntesis va −h, así que si el centro tiene x = −4, escribes (x + 4). Y el radio se eleva al cuadrado: en la ecuación va r², no r.

Si te dan la ecuación desarrollada

Cuando aparecen términos como x² + y² + Dx + Ey + F = 0, tienes que completar cuadrados para llegar a la forma ordenada. Por ejemplo:

x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0

1. Agrupa x con x y y con y, y pasa el término independiente al otro lado: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 3.
2. Completa cuadrados sumando lo necesario a cada lado. Para x, tomas la mitad de −6, que es −3, y lo elevas al cuadrado: 9. Para y, la mitad de 4 es 2, y 2² = 4.
3. Entonces (x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 3 + 9 + 4, es decir, (x − 3)² + (y + 2)² = 16.

El centro es (3, −2) y el radio es 4. Si ya conoces la fórmula, puedes leer el centro directo: h = −D/2 y k = −E/2. Para el radio, usa r² = h² + k² − F, que aquí da 9 + 4 + 3 = 16.

Si te dan dos puntos de un diámetro

El centro es el punto medio entre los extremos, y el radio es la mitad de la distancia entre ellos. Con A(1, 2) y B(7, 10):

• Centro: ((1 + 7)/2, (2 + 10)/2) = (4, 6)
• Distancia AB: √((7 − 1)² + (10 − 2)²) = √(36 + 64) = √100 = 10
• Radio: 10/2 = 5

La ecuación es (x − 4)² + (y − 6)² = 25.

Una comprobación rápida

Si al completar cuadrados el lado derecho sale negativo o cero, no tienes una circunferencia real. Con cero es un solo punto, y con negativo no hay lugar geométrico. Si te sale así, revisa las sumas que hiciste al completar.

Práctica

Encuentra el centro y el radio de x² + y² + 4x − 2y − 4 = 0.

Respuesta: agrupa (x² + 4x) + (y² − 2y) = 4. Completa cuadrados: (x + 2)² + (y − 1)² = 4 + 4 + 1 = 9. El centro es (−2, 1) y el radio es 3.

Si fallaste, lo más probable es que hayas tomado el signo del centro igual que el de la ecuación. Recuerda que (x + 2) corresponde a h = −2. Si quieres ver cómo se plantea este tipo de problema dentro del área, la página de pensamiento matemático explica qué mide.