Dominio y rango de funciones algebraicas: cómo calcularlos

El dominio de una función algebraica es el conjunto de valores de x que puedes sustituir sin que la expresión se rompa, y el rango es el conjunto de valores de y que la función realmente produce. Casi todo el trabajo está en encontrar qué valores de x se prohíben.

Las tres reglas que resuelven casi todo

Para el dominio, revisa la forma de la expresión:

• Polinomios (como 3x² − x + 7): el dominio son todos los reales.
• Fracciones: el denominador no puede ser cero. Iguala el denominador a cero y excluye esas x.
• Raíces de índice par (raíz cuadrada, raíz cuarta): lo que está dentro de la raíz tiene que ser mayor o igual que cero.

Las raíces de índice impar (cúbica, por ejemplo) no restringen el dominio. Si hay una fracción y una raíz juntas, aplica las dos reglas.

Para el rango no hay una regla única, pero sí un método: despeja x en términos de y y mira para qué valores de y tienes solución real. Ese método funciona en muchos casos sin tener que adivinar.

Un antes y un después

Supón que te piden el dominio de f(x) = 1 / (x − 2).

Una respuesta débil sería: "El dominio son todos los reales porque es una función racional." Eso suena bien, pero está mal. Sí es racional, pero el denominador se anula en x = 2.

Una respuesta sólida sería: "El denominador es cero cuando x = 2, así que el dominio es ℝ − {2}, o sea, (−∞, 2) ∪ (2, ∞)." Aquí lo que cambió fue hacer la verificación que la regla pide, en lugar de quedarte con el nombre del tipo de función.

Ejemplos resueltos

1. Dominio de f(x) = (2x + 1) / (x² − 9)

El denominador se anula cuando x² − 9 = 0, es decir, x = 3 o x = −3. Dominio: ℝ − {−3, 3}.

2. Dominio de g(x) = √(4 − 2x)

Lo de dentro debe ser mayor o igual que cero: 4 − 2x ≥ 0, entonces −2x ≥ −4, y al dividir entre −2 el sentido de la desigualdad cambia: x ≤ 2. Dominio: (−∞, 2].

Fíjate en ese cambio de sentido. Es un error muy común al despejar con números negativos.

3. Rango de h(x) = x² − 6x + 5

Es una parábola que abre hacia arriba. Su vértice está en x = 3 (la mitad de 6 entre 2, con signo cambiado). Evalúa: h(3) = 9 − 18 + 5 = −4. Como la parábola abre hacia arriba, el valor mínimo es −4. Rango: [−4, ∞). El dominio es ℝ.

4. Rango de f(x) = (x + 1) / (x − 2)

Haz y = (x + 1) / (x − 2) y despeja x:

y(x − 2) = x + 1 yx − 2y = x + 1 yx − x = 2y + 1 x(y − 1) = 2y + 1 x = (2y + 1) / (y − 1)

Esa x existe para todo y, excepto y = 1, porque ahí el denominador se anula. Rango: ℝ − {1}.

Cómo practicar esto sin perder tiempo

Lo más útil es resolver primero el dominio de unas diez funciones seguidas, sin mirar la solución, y luego el rango de otras diez. Si te equivocas siempre en el mismo paso (casi siempre es el signo al despejar o el olvido del denominador), ese es tu tema a repasar.

Para ver el tema dentro del área completa, revisa la página de pensamiento matemático del EXANI-II. Si quieres practicar con preguntas en formato de examen y tiempo, usa el simulador por área.

Los temas exactos de la sección aparecen en el temario oficial que publica CENEVAL en su sitio, en ceneval.edu.mx. Si tienes dudas sobre qué contenidos entran en tu módulo o en qué fecha presentas, confírmalo con tu institución, porque cada una publica su propia convocatoria.