Desigualdades lineales: cómo resolverlas paso a paso

Una desigualdad lineal se resuelve igual que una ecuación lineal, con un cambio que es donde casi todos se equivocan: si multiplicas o divides ambos lados por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte.

Cómo se resuelve

Despeja la x sumando, restando, multiplicando o dividiendo, igual que harías con una ecuación. Cuando termines, la respuesta es un conjunto de valores, no un número.

Ejemplo 1: 3x − 5 < 10

• Suma 5 a ambos lados: 3x < 15
• Divide entre 3 (positivo, así que el signo no cambia): x < 5

La solución son todos los números menores que 5. El 5 mismo no entra, porque la desigualdad es estricta.

Ejemplo 2: −2x + 4 ≥ 8

• Resta 4: −2x ≥ 4
• Divide entre −2. Aquí el signo cambia: x ≤ −2

Para confirmar, prueba un valor de la solución. Con x = −3: −2(−3) + 4 = 10, y 10 ≥ 8 es verdadero. Con x = −1: −2(−1) + 4 = 6, y 6 ≥ 8 es falso. Eso confirma que la solución va hacia el lado de los negativos.

Desigualdades dobles

Cuando hay tres partes, como −3 ≤ 2x + 1 < 7, lo que haces a un lado lo haces también a los otros dos. No pierdas ninguna parte.

• Resta 1 en las tres partes: −4 ≤ 2x < 6
• Divide entre 2 en las tres partes: −2 ≤ x < 3

Fracciones

Ejemplo 3: (x − 1)/2 > 3

• Multiplica por 2: x − 1 > 6
• Suma 1: x > 7

Si te cuesta, quita primero el denominador. Así no tienes que tratar con fracciones en medio del proceso.

Errores comunes y su corrección

Error 1: no invertir el signo al dividir entre un negativo. Mal: −2x ≥ 4, entonces x ≥ −2. Bien: x ≤ −2. La prueba con x = −1 del ejemplo 2 muestra por qué la versión mal hecha no funciona.

Error 2: invertir el signo sin necesidad. Mal: 3x < 15, entonces x > 5. Bien: x < 5. Solo cambia el signo cuando multiplicas o divides por un negativo. Sumar, restar o dividir entre un positivo no lo cambia.

Error 3: tratar la solución como un solo valor. Mal: escribir "x = 5" para 3x − 5 < 10. Bien: x < 5. Cualquier número menor que 5 cumple, por ejemplo 0, −7 o 4.9.

Error 4: confundir abierto con cerrado. Mal: escribir x ≤ 5 para 3x − 5 < 10, porque "casi" da 5. Bien: x < 5. Con < o >, el extremo no se incluye. Con ≤ o ≥, sí.

Error 5: operar solo en una parte de una desigualdad doble. Mal: de −4 ≤ 2x < 6, dividir solo la segunda parte y dejar −4 igual. Bien: dividir las tres partes: −2 ≤ x < 3.

Cómo practicar

Resuelve primero sin ayuda, luego comprueba con un valor de prueba dentro de la solución y otro fuera. Si el valor de prueba no cumple lo que debería, revisa el signo. Para practicar con reactivos del mismo tipo, usa las secciones de pensamiento matemático de el simulador por área y lee cómo se evalúa esta área para ubicar el tema dentro del examen.