Ley de senos y cosenos: fórmulas y ejemplos resueltos

La ley de senos dice que en cualquier triángulo, cada lado dividido entre el seno de su ángulo opuesto da el mismo valor: a/sen A = b/sen B = c/sen C. La ley de cosenos dice que un lado al cuadrado es igual a la suma de los otros dos al cuadrado, menos el doble producto de esos lados por el coseno del ángulo entre ellos: c² = a² + b² − 2ab·cos C.

Cuándo usar cada una

La clave está en qué datos tienes, no en memorizar las fórmulas.

• Ley de senos: cuando conoces un lado con su ángulo opuesto, y además otro dato (otro ángulo o el lado opuesto a él).
• Ley de cosenos: cuando conoces dos lados y el ángulo entre ellos (LAL), o los tres lados (LLL) y quieres un ángulo.

Ejemplo 1: ley de senos

En un triángulo, A = 30°, a = 10 y B = 45°. Calcula el lado b.

1. Planteas la igualdad: a/sen A = b/sen B.
2. Despejas b: b = a · sen B / sen A.
3. Sustituyes: b = 10 · sen 45° / sen 30° = 10 · 0.7071 / 0.5 ≈ 14.14.

Ejemplo 2: ley de cosenos con dos lados y el ángulo entre ellos

Tienes b = 7, c = 5 y el ángulo A = 60°, que está entre b y c. Calcula a.

1. Escribes la fórmula para el lado que buscas: a² = b² + c² − 2bc·cos A.
2. Sustituyes: a² = 49 + 25 − 2(7)(5)(cos 60°).
3. Como cos 60° = 0.5: a² = 74 − 35 = 39.
4. Sacas raíz: a = √39 ≈ 6.24.

Ejemplo 3: ley de cosenos para encontrar un ángulo

Los lados son a = 3, b = 4 y c = 6. Calcula el ángulo C, el que está frente al lado c.

1. Despejas el coseno: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab).
2. Sustituyes: cos C = (9 + 16 − 36) / 24 = −11/24 ≈ −0.458.
3. Obtienes el ángulo con la función inversa: C ≈ 117.3°.

Fíjate en el signo: un coseno negativo significa que el ángulo es obtuso. Si el resultado te sale positivo para un ángulo que claramente es obtuso, revisa tus signos.

Un error que cuesta puntos

En la ley de senos, el ángulo tiene que ser el opuesto al lado que usas. Si pones el ángulo de al lado, el resultado sale mal aunque la cuenta esté bien hecha. Antes de sustituir, escribe en una línea qué lado está frente a qué ángulo.

Con dos lados y un ángulo que no está entre ellos (LLA), la ley de senos puede dar dos triángulos posibles. Esa situación se llama caso ambiguo y conviene revisarla con calma.

Sobre el examen

El EXANI-II solo permite calculadora de funciones básicas, así que no cuentes con una tecla de seno o coseno el día de la aplicación. Practica sin depender de esas funciones, o revisa si el tema aparece en tu temario. Para saber qué incluye la sección de matemáticas, consulta el temario oficial de CENEVAL, y si quieres ubicar estos temas dentro del área, lee la explicación de Pensamiento matemático.

Para practicar por tu cuenta, puedes usar el simulador por área y contra reloj.