Eventos independientes y dependientes: fórmulas y ejemplos

Dos eventos son independientes cuando saber que ocurrió el primero no cambia la probabilidad del segundo. Para comprobarlo, compara P(B) con P(B|A), la probabilidad de B sabiendo que A ya pasó. Si son iguales, son independientes. Si cambian, son dependientes.

Las dos fórmulas

Para "A y B" (que ocurran ambos):

• Si son independientes: P(A y B) = P(A) · P(B)
• Si son dependientes: P(A y B) = P(A) · P(B|A)

La segunda fórmula es la general. La primera es un caso particular de ella, en el que P(B|A) es igual a P(B).

Ejemplo independiente

Lanzas un dado dos veces. El resultado del primer lanzamiento no modifica el segundo, así que:

• P(seis en el primero) = 1/6
• P(seis en el segundo) = 1/6
• P(seis en los dos) = 1/6 · 1/6 = 1/36

Ejemplo dependiente: sin reemplazo

Tienes una bolsa con 3 canicas rojas y 2 azules. Sacas una canica, no la regresas y sacas otra.

• P(roja en la primera) = 3/5
• Quedan 4 canicas, de las cuales 2 son rojas: P(roja en la segunda | roja en la primera) = 2/4
• P(dos rojas) = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10

Si regresaras la primera canica antes de sacar la segunda, el total volvería a ser 5 y el resultado cambiaría:

• P(dos rojas) = 3/5 · 3/5 = 9/25

Así que la pregunta clave es si el enunciado dice "sin reemplazo". Cuando lo dice, casi siempre tendrás que actualizar el total y el número de casos favorables en la segunda extracción.

Reactivo para resolver

En una bolsa hay 5 fichas blancas y 3 negras. Se sacan dos fichas, una tras otra, sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean negras?

Primera extracción: 3 de 8 fichas son negras, así que P = 3/8. Después quedan 7 fichas, de las cuales 2 son negras, así que la segunda probabilidad es 2/7.

P = 3/8 · 2/7 = 6/56 = 3/28

Respuesta: 3/28, aproximadamente 0.107.

Errores que conviene evitar

Confundir excluyentes con independientes. Dos eventos excluyentes no pueden ocurrir juntos. Por ejemplo, en una sola extracción de una carta, "sacar roja" y "sacar negra" son excluyentes. Si los dos tienen probabilidad mayor que cero, no son independientes: que ocurra uno vuelve imposible el otro, es decir, dependen uno del otro. Para "A y B" con eventos excluyentes, la probabilidad es 0.

Sumar cuando debes multiplicar. "A y B" se multiplica. "A o B" se suma, y si los eventos pueden ocurrir juntos, debes restar P(A y B) para no contar dos veces.

Olvidar actualizar el total. En problemas sin reemplazo, el denominador de la segunda extracción baja en uno y el número de favorables puede bajar también. Si dejas los mismos números, el resultado estará mal.

Dónde estudiar este tema

En el EXANI II, las probabilidades aparecen dentro de pensamiento matemático, que son 30 reactivos. Si tu institución te pide el módulo de Probabilidad y estadística, sus 24 reactivos se centran más en este tipo de cálculos. Revisa el temario oficial de cada área en la guía de pensamiento matemático y, para practicar con tiempo, usa el simulador por área. Confirma con tu institución qué módulos te tocan y en qué fecha se aplica el examen, ya que cada una publica su propia convocatoria.